Esercizi
[1C8] Prerequisiti:[1C6].Note:Proprietà di Darboux.
Sia \(A⊆ ℝ\) un aperto, e sia \(f:A→ℝ\) derivabile; vogliamo mostrare che per ogni intervallo \(I⊂ A\) l’immagine \(f'(I)\) è un intervallo.
Mostrate dunque questo risultato. Per ogni \(x,y∈ I\) con \(x{\lt}y\), poniamo \(a=f'(x), b= f'(y)\); assumiamo per semplicità che \(a{\lt}b\); sia poi \(c\) con \(a{\lt} c {\lt} b\): allora esiste \(𝜉∈ I\) con \(x{\lt}𝜉{\lt}y\) tale che \(f'(𝜉)=c\).
(Mostrate infine che questa proprietà effettivamente implica che l’immagine \(f'(I)\) di un intervallo \(I\) è un intervallo).
Soluzione 1