Definizione
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[1FB]Sia \(a∈\overlineℝ\) e \(I\) un intorno di \(a\). Siano \(f,g:I→ℝ\). Diremo che “\(f(x)=o(g(x))\) per \(x\) tendente ad \(a\)” se 1
\[ \forall \varepsilon {\gt}0,~ \exists \delta {\gt}0 ,x\in I \land ~ |x-a|{\lt}\delta \Rightarrow |f(x)|\le \varepsilon |g(x)| \quad . \]
Questa notazione si legge come “f è o piccolo di g”.
Se \(g(x)≠ 0\) per \(x≠ a\), allora equivalentemente si può scrivere
\[ \lim _{x→ a}\frac{f(x)}{g(x)}=0\quad . \]
Diremo che “\(f(x)=O(g(x))\) per \(x\) tendente ad \(a\)” se se esistono una costante \(c{\gt}0\) e un intorno \(J\) di \(a\) per cui \(∀ x∈ J, |f(x)|≤ c |g(x)|\).
Di nuovo, se \(g(x)≠ 0\) per \(x≠ a\), allora equivalentemente si può scrivere
\[ \limsup _{x→ a}\frac{|f(x)|}{|g(x)|}{\lt}∞\quad , \]
Questa notazione si legge come “f è O grande di g”.
Per maggiori informazioni, e altre notazioni, si veda [ 46 ] .