Esempio
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[1FD]Enunciamo in maniera informale questa proprietà.
Se \(n≥ m≥ 1\) allora \(o(x^ n)+o(x^ m)=o(x^ m)\).
Per dimostrarla la convertiamo in un enunciato preciso. Innanzitutto la riscriviamo così.
Se \(f(x)=o(x^ n)\) e \(g(x)=o(x^ m)\) allora \(f(x)+g(x)=o(x^ m)\).
Dunque la dimostriamo. Come ipotesi abbiamo che
\[ \lim _{x→ 0}f(x)x^{-n}=0 ~ \text{e}~ ~ \lim _{x→ 0}g(x)x^{-m}=0\quad \]
allora
\[ \lim _{x→ 0}\frac{f(x)+g(x)}{x^{m}}= \lim _{x→ 0}\frac{f(x)}{x^{m}}+ \lim _{x→ 0}\frac{g(x)}{x^{m}}= \lim _{x→ 0} x^{n-m} \frac{f(x)}{x^{n}}+0=0. \]