Esempio
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[1FF]Enunciamo in maniera informale questa seconda proprietà
Se \(n≥ 1\) allora \(o\Big(x^ n+o(x^ n)\Big)=o(x^ n)\).
La riscriviamo così.
Se \(f(x)=o(x^ n)\) e \(g(x)=o(x^ n+f(x))\) allora \(g(x)=o(x^ n)\).
Notiamo che, per \(x≠ 0\) piccolo, \(x^ n+f(x)\) è non nullo, in quanto esiste un intorno in cui \(|f(x)|≤ |x^ n/2|\). Come ipotesi abbiamo che \(\lim _{x→ 0}f(x)x^{-n}=0\) e \(\lim _{x→ 0}g(x)/(x^ n+f(x))=0\) allora
\[ \lim _{x→ 0}\frac{g(x)}{x^{n}}= \lim _{x→ 0}\frac{g(x)}{x^ n+f(x)}\frac{x^ n+f(x)}{x^{n}} \]
ma
\[ \lim _{x→ 0}\frac{g(x)}{x^ n+f(x)}=0 \]
mentre
\[ \lim _{x→ 0}\frac{x^ n+f(x)}{x^{n}}=1\quad . \]