EDB — 1FF

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Esempio 38

[1FF]Enunciamo in maniera informale questa seconda proprietà

Se $n \geq 1$ allora $o (x^{n} + o (x^{n})) = o (x^{n})$ .

La riscriviamo così.

Se $f (x) = o (x^{n})$ e $g (x) = o (x^{n} + f (x))$ allora $g (x) = o (x^{n})$ .

Notiamo che, per $x \neq 0$ piccolo, $x^{n} + f (x)$ è non nullo, in quanto esiste un intorno in cui $| f (x) | \leq | x^{n} / 2 |$ . Come ipotesi abbiamo che $lim_{x \to 0} f (x) x^{- n} = 0$ e $lim_{x \to 0} g (x) / (x^{n} + f (x)) = 0$ allora

lim_{x \to 0} \frac{g (x)}{x^{n}} = lim_{x \to 0} \frac{g (x)}{x^{n} + f (x)} \frac{x^{n} + f (x)}{x^{n}}

lim_{x \to 0} \frac{g (x)}{x^{n} + f (x)} = 0

mentre

lim_{x \to 0} \frac{x^{n} + f (x)}{x^{n}} = 1 .

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Autori: "Mennucci , Andrea C. G." .

Bibliografia
Indice analitico

teorema, di Taylor
simboli di Landau

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