Esercizi
[1GW] Sia \(E\) l’insieme di rette orizzontali
\[ E = \{ (x,0):x∈ℝ\} ∪ ⋃_{n=1}^∞ \{ (x,1/n):x∈ℝ\} \quad . \]Trovate una funzione \(f:ℝ^ 2→ℝ\), \(f=f(x,y)\) di classe \(C^ 1\) tale che \(E=\{ (x,y) : f(x,y)=0 \} \).
Dimostrate che necessariamente \(∂_{y} f(0,0)=0\).
Sia ora \((\overline x,\overline y)=(0,0)\). Notate che esiste una funzione \(g:ℝ→ℝ\) tale che \(g(0)=0\) e \(f(x,g(x))=0\)! Difatti la funzione \(g≡ 0\) è l’unica funzione con tali caratteristiche. Dunque una parte della tesi nel teorema di funzione implicita è soddisfatta.
Spiegate dunque precisamente perché la tesi del teorema di funzione implicita non è soddisfatta.