Esercizi
[1GZ] Nelle stesse ipotesi del precedente teorema [1GD], mostrate che esistono \(\varepsilon {\gt}0\) e una funzione continua \(\tilde g:V→ ℝ\) dove \(I=(\overline a-\varepsilon ,\overline a+\varepsilon )\) e \(V=U'× I\) è aperto in \(ℝ^ n\), tali che
\begin{equation} ∀ (x',a)∈ V \quad ,\quad (x',\tilde g(x',a))∈ U \quad \text{e} \quad f\big(x',\tilde g(x',a)\big)=a \quad .\label{eq:tilde_ g_ teor_ funz_ inv} \end{equation}54Viceversa se \(x∈ U\) e \(a=f(x)\) e \(a∈ I\) allora \(x_ n=\tilde g(x',a)\).
Notate che la precedente relazione significa che, per ogni fissato \(x'∈ U'\), la funzione \(\tilde g(x',⋅)\) è l’inversa della funzione \(f(x',⋅)\) (quando definite su opportuni intervalli aperti).
Dunque si ha anche che la funzione \(\tilde g\) è sempre differenziabile rispetto ad \(a\), e la derivata parziale è
\[ \frac{\partial ~ }{\partial {a}} \tilde g(x',a)=\frac{1}{\frac{\partial ~ }{\partial {x_ n}} f(x',\tilde g(x',a))}\quad . \]Le altre derivate invece (ovviamente) sono come nel teorema [1GD].
La regolarità di \(\tilde g\) è la stessa di \(g\): se \(f\) è Lipschitziana allora \(\tilde g\) è Lipschitziana; se \(f∈ C^ k(U)\) allora \(\tilde g∈ C^ k(V)\).
Soluzione 1