Esercizi
[1H1] Nelle stesse ipotesi dell’esercizio [1GZ], assumiamo inoltre che \(f∈ C^ 1(A)\).
Decomponiamo \(y=(y',y_ n),∈ℝ^ n\) come già fatto per \(x\). Definiamo la funzione \(G:V→ ℝ^ n\) come \(G(y)=(y',\tilde g(y))\). Sia \(W=G(V)\) l’immagine di \(V\), mostrate che \(W⊆ U\) e che \(W\) è aperto.
Mostrate che è \(G:V→ W\) è un diffeomorfismo; e che la sua inversa è la mappa \(F(x)=(x',f(x))\).
Poniamo \(\tilde f = f ◦ G\). Mostrate che \(\tilde f(x)=x_ n\).
(Questo esercizio sarà usato, insieme al [1GB], per affrontare i problemi vincolati in sezione [2D5]).
Soluzione 1