EDB — 1JS

Esercizi

1. [1JS] Sia $I\subset ℝ$ un aperto, sia $\hat{x}$ un punto di accumulazione per $I$  ¹  , sia $f_m:I\to ℝ$ una successione di funzioni limitate che convergono uniformemente a $f:I\to ℝ$ quando $m\to \infty$. Supponiamo che per ogni $m$ esista $\underset{x\to \hat{x}}{lim}{f}_m(x)$ allora

   $$\underset{m\to \infty }{lim}\underset{x\to \hat{x}}{lim}{f}_m(x)=\underset{x\to \hat{x}}{lim}\underset{m\to \infty }{lim}{f}_m(x)$$

   nel senso che se uno dei due limiti esiste allora esiste anche l’altro, e sono uguali. (Il precedente risultato vale anche per limiti destri o limiti sinistri).

   Mostrate con un semplice esempio che se il limite non è uniforme allora la precedente uguaglianza non vale.

   Soluzione 1

   [1JT]↺↻

   (Si veda anche l’esercizio [0CX]↺↻).