Esercizi
[1JS] Sia \(I⊂ℝ\) un aperto, sia \(\hat x\) un punto di accumulazione per \(I\) 1 , sia \(f_{m}:I→ℝ\) una successione di funzioni limitate che convergono uniformemente a \(f:I→ℝ\) quando \(m→ ∞\). Supponiamo che per ogni \(m\) esista \(\lim _{x→ \hat x} f_{m}(x)\) allora
\[ \lim _{m→ ∞} \lim _{x→\hat x} f_{m}(x)= \lim _{x→\hat x} \lim _{m→ ∞} f_{m}(x) \]nel senso che se uno dei due limiti esiste allora esiste anche l’altro, e sono uguali. (Il precedente risultato vale anche per limiti destri o limiti sinistri).
Mostrate con un semplice esempio che se il limite non è uniforme allora la precedente uguaglianza non vale.
(Si veda anche l’esercizio [0CX]).Soluzione 1