EDB — 1MW

Esercizi

1. [1MW] Difficoltà:*.Nel caso generale (quando non sappiamo se \(A,B\) commutano) procediamo come segue. Definiamo \([A,B]=AB-BA\).

   • Posto \(B_ 0=B\) e \(B_{n+1}=[A,B_ n]\) si ha

     \begin{eqnarray*} B_ n& =& A^ nB - n A^{n-1}BA + \frac{n(n-1)} 2 A^{n-2}BA^ 2 + \cdots + (-1)^ n\, BA^ n =\\ & =& ∑_{k=0}^ n (-1)^ k\binom {n}{k} A^{n-k} B A^{k}~ ~ ; \end{eqnarray*}

   • definiamo ora \(Z=Z(A,B)\)

     \begin{equation} Z{\stackrel{.}{=}}∑_{n=0}^∞\frac{B_ n}{n!}~ ~ ,\label{eq:Z(A,B)} \end{equation}

     20

     (notate che \(Z\) è lineare in \(B\)): si mostra che la serie precedente converge e che

     \begin{equation} \exp (A)B\exp (-A)=Z~ ~ ;\label{eq:exp_ A_ B_-A_ Z} \end{equation}

     21

   • da questa infine si dimostra che

     \[ \exp (A)\exp (B)\exp (-A)=\exp (Z)~ ~ . \]

   (Queste formule si possono vedere come conseguenze della formula di Baker–Campbell–Hausdorff [ 41 ] ).

   Soluzione 1

   [1MX]↺↻