EDB — 1N0

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Esercizi

  1. [1N0]Prerequisiti:[1T1].Difficoltà:**.Nel caso generale (anche quando non sappiamo se \(A,B\) commutano), possiamo esprimere \(\exp (A+sB)\) usando una espressione in serie di potenze. Definiamo

    \[ C(t)=\exp (-tA)B \exp (tA) \]

    e (ricorsivamente) \(Q_ 0={\mathbb {I}}\) (la matrice identità) e poi

    \[ Q_{n+1}(t)=∫_ 0^ t C(𝜏) Q_ n(𝜏)\, {\mathbb {d}}𝜏 \]

    allora si ha

    \begin{equation} \exp (-A)\exp (A+sB)=∑_{n=0}^∞ s^ n Q_ n(1)~ ~ ;\label{eq:exp_ A+sB} \end{equation}
    24

    questa serie converge per ogni \(s\).

    Se ne ricava in particolare che la derivata direzionale di \(\exp \) nel punto \(A\) in direzione \(B\) è

    \[ \frac{d\hskip5.5pt}{d{s}} \exp (A+sB)|_{s=0}=\exp (A) Q_ 1(1) = ∫_ 0^ 1 \exp ((1-𝜏) A)B\exp (𝜏 A) \, {\mathbb {d}}𝜏~ ~ . \]

    ( Sugg. usate l’esercizio [1T1] con \(Y(t,s) = \exp (-tA)\exp (t(A+sB))\) e poi ponete \(t=1\). )

    Soluzione 1

    [1N1]

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Bibliography
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  • serie, di potenze
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