EDB — 1N0

Esercizi

1. [1N0]Prerequisiti:[1T1]↺↻.Difficoltà:**.Nel caso generale (anche quando non sappiamo se \(A,B\) commutano), possiamo esprimere \(\exp (A+sB)\) usando una espressione in serie di potenze. Definiamo

   \[ C(t)=\exp (-tA)B \exp (tA) \]

   e (ricorsivamente) \(Q_ 0={\mathbb {I}}\) (la matrice identità) e poi

   \[ Q_{n+1}(t)=∫_ 0^ t C(𝜏) Q_ n(𝜏)\, {\mathbb {d}}𝜏 \]

   allora si ha

   \begin{equation} \exp (-A)\exp (A+sB)=∑_{n=0}^∞ s^ n Q_ n(1)~ ~ ;\label{eq:exp_ A+sB} \end{equation}

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   questa serie converge per ogni \(s\).

   Se ne ricava in particolare che la derivata direzionale di \(\exp \) nel punto \(A\) in direzione \(B\) è

   \[ \frac{d\hskip5.5pt}{d{s}} \exp (A+sB)|_{s=0}=\exp (A) Q_ 1(1) = ∫_ 0^ 1 \exp ((1-𝜏) A)B\exp (𝜏 A) \, {\mathbb {d}}𝜏~ ~ . \]

   ( Sugg. usate l’esercizio [1T1]↺↻ con \(Y(t,s) = \exp (-tA)\exp (t(A+sB))\) e poi ponete \(t=1\). )

   Soluzione 1

   [1N1]↺↻