EDB — 1N0

Esercizi

1. [1N0]Prerequisiti:[1T1]↺↻.Difficoltà:**.Nel caso generale (anche quando non sappiamo se $A,B$ commutano), possiamo esprimere $\exp (A+sB)$ usando una espressione in serie di potenze. Definiamo

   $$C(t)=\exp (-tA)B\exp (tA)$$

   e (ricorsivamente) $Q_0=\mathbb{I}$ (la matrice identità) e poi

   $$Q_{n+1}(t)={\int }_0^{t}C(𝜏)Q_n(𝜏)\mathbb{d}𝜏$$

   allora si ha

   $$\begin{array}{}\text{(1)}& \exp (-A)\exp (A+sB)={\sum }_{n=0}^{\infty }{s}^n{Q}_n(1);\end{array}$$

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   questa serie converge per ogni $s$.

   Se ne ricava in particolare che la derivata direzionale di $\exp$ nel punto $A$ in direzione $B$ è

   $$\frac{d}{ds}\exp (A+sB){|}_{s=0}=\exp (A)Q_1(1)={\int }_0^1\exp ((1-𝜏)A)B\exp (𝜏A)\mathbb{d}𝜏.$$

   ( Sugg. usate l’esercizio [1T1]↺↻ con $Y(t,s)=\exp (-tA)\exp (t(A+sB))$ e poi ponete $t=1$. )

   Soluzione 1

   [1N1]↺↻