EDB — 1QR

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E5

[1QR] Prerequisiti:[19S].Siano dati x0,t0 fissati e f: funzione limitata e continua con f(x0)=0 ma f(x)>0 per xx0. Vogliamo studiare il problema autonomo

{x(t)=f(x(t))  ,x(t0)=x0  .

Notate che xx0 è una possibile soluzione. Mostrate che se, per ε>0 piccolo,  1

(1)x0x0+𝜀1f(y)dy=(2)x0εx01f(y)dy=

allora xx0 è l’unica soluzione; mentre in caso contrario esistono molte soluzioni di classe C1: descrivetele tutte.

Soluzione 1

[1QS]

Le condizioni ?? e ?? sono un caso particolare della condizione di unicità di Osgood, si veda Problem 2.25 in [ .

  1. Se la condizione vale per un ε>0 allora vale per ogni ε>0, dato che f>0 lontano da x0.
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