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[1QR] Prerequisiti:[19S].Siano dati \(x_ 0,t_ 0∈ℝ\) fissati e \(f:ℝ→ℝ\) funzione limitata e continua con \(f(x_ 0)=0\) ma \(f(x){\gt}0\) per \(x≠ x_ 0\). Vogliamo studiare il problema autonomo
\[ \begin{cases} {x}’ (t) = f(x(t))~ ~ , \\ x (t_ 0 ) = x_ 0 ~ ~ .\end{cases} \]Notate che \(x≡ x_ 0\) è una possibile soluzione. Mostrate che se, per \(\varepsilon {\gt}0\) piccolo, 1
\begin{eqnarray} ∫_{x_ 0}^{x_ 0 + 𝜀} \! \frac{1}{f (y)}\, {\mathbb {d}}y = ∞ \label{eq:Osgood_ dei_ poveri_ dx} \\ ∫_{x_ 0-\varepsilon }^{x_ 0 } \! \frac{1}{f (y)}\, {\mathbb {d}}y=∞ \label{eq:Osgood_ dei_ poveri_ sx} \end{eqnarray}allora \(x≡ x_ 0\) è l’unica soluzione; mentre in caso contrario esistono molte soluzioni di classe \(C^ 1\): descrivetele tutte.
Soluzione 1Le condizioni ?? e ?? sono un caso particolare della condizione di unicità di Osgood, si veda Problem 2.25 in [ .
EDB — 1QR
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Italian
Authors:
"Mennucci , Andrea C. G."
.
Bibliography
Book index
- [29] Gerald Teschl. Ordinary differential equations and dynamical systems, volume 140. American Mathematical Soc., 2012. ISBN 978-0-8218-8328-0. URL http://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-ode/index.html. (Freely available on the author’s website).
Book index
- Osgood
- condizione di unicità di Osgood
- ODE
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