EDB — 1QR

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E5

[1QR] Prerequisiti:[19S].Siano dati \(x_ 0,t_ 0∈ℝ\) fissati e \(f:ℝ→ℝ\) funzione limitata e continua con \(f(x_ 0)=0\) ma \(f(x){\gt}0\) per \(x≠ x_ 0\). Vogliamo studiare il problema autonomo

\[ \begin{cases} {x}’ (t) = f(x(t))~ ~ , \\ x (t_ 0 ) = x_ 0 ~ ~ .\end{cases} \]

Notate che \(x≡ x_ 0\) è una possibile soluzione. Mostrate che se, per \(\varepsilon {\gt}0\) piccolo,  1

\begin{eqnarray} ∫_{x_ 0}^{x_ 0 + 𝜀} \! \frac{1}{f (y)}\, {\mathbb {d}}y = ∞ \label{eq:Osgood_ dei_ poveri_ dx} \\ ∫_{x_ 0-\varepsilon }^{x_ 0 } \! \frac{1}{f (y)}\, {\mathbb {d}}y=∞ \label{eq:Osgood_ dei_ poveri_ sx} \end{eqnarray}

allora \(x≡ x_ 0\) è l’unica soluzione; mentre in caso contrario esistono molte soluzioni di classe \(C^ 1\): descrivetele tutte.

Soluzione 1

[1QS]

Le condizioni ?? e ?? sono un caso particolare della condizione di unicità di Osgood, si veda Problem 2.25 in [ .

  1. Se la condizione vale per un \(\varepsilon {\gt}0\) allora vale per ogni \(\varepsilon {\gt}0\), dato che \(f{\gt}0\) lontano da \(x_ 0\).
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