EDB — 1T9

Esercizi

1. [1T9] Note:rielaborato dal compito 26 Gennaio 2016.

   Sia \((q_ n )_{n≥1}\) una enumerazione dei razionali di \((0, 1)\) e definiamo

   \[ f(t) {\stackrel{.}{=}}∑_{n: q_ n {\lt}t} 2^{ −n} \]

   e

   \[ g (t) {\stackrel{.}{=}}∑_{n: q_ n ≤ t} 2^{ −n} \]

   per \(t ∈ (0, 1)\).

   • Mostrate che \(f,g\) sono strettamente crescenti.

   • Calcolate i limiti per \(t ↓ 0\) e \(t ↑ 1\).

   • Mostrate che \(f\) è continua a sinistra, \(g\) è continua a destra, e che

     \[ \lim _{𝜏→ t+} f (𝜏) =g(t) \quad ,\quad \lim _{𝜏→ t-} g (𝜏) =f(t) \quad . \]

   • Mostrate inoltre che \(f\) è discontinua in \(t\) se e solo se \(t ∈ ℚ ∩ (0, 1)\); e similmente per \(g\).

   • Cosa cambia se sostituiamo \(2^{ −n}\) con il termine \(a_ n\) di una serie assolutamente convergente?

   Soluzione 1

   [1TB]↺↻