EDB — 1TY

Esercizi

1. [1TY]Note:compitino 12/1/2013.

   Dato un sottoinsieme \(E\) di \(ℕ\) e un intero \(n ∈ ℕ\), l’espressione

   \[ \frac{\mathrm{card}( E ∩ \{ 0, 1, . . . , n\} )}{n+1} \]

   indica quale frazione del segmento \(\{ 0, 1, . . . , n\} \) è contenuta in E. La nozione di “densità” in \(ℕ\) di \(E\) è riferita al comportamento di tali frazioni al tendere di n all’infinito. Precisamente, si definiscono la densità superiore \( \overline d(E)\) di E e la sua densità inferiore \(\underline d(E)\) come

   \[ \overline d(E) = \limsup _{n→∞} \frac{\mathrm{card}( E ∩ \{ 0, 1, … , n\} )}{n+1}\quad , \]
   \[ \underline d(E) = \liminf _{n→∞} \frac{\mathrm{card}( E ∩ \{ 0, 1, … , n\} )}{n+1}\quad . \]

   Se \(\overline d(E) = \underline d(E) = d ∈ [0, 1]\), si dice che E ha densità d. (Si veda anche [ 50 ] .)

   1. Si dimostri che, per ogni \(α ∈ ℝ, α ≥ 1\), l’insieme \(E_α = [nα] : n ∈ N\) ha densità \(d = 1/α\) (il simbolo \([x]\) indica la parte intera di \(x ∈ R\)).

   2. Sia \(E = \{ m_ 0 , m_ 1 , … , m_ k , … \} \) un insieme infinito, con \(m_ 0 {\lt} m_ 1 {\lt} … {\lt} m_ k {\lt} …\). Si dimostri che \(\overline d(E) = \limsup _{ k→∞} \frac{k}{m_ k}\) e \(\underline d(E) = \liminf _{ k→∞} \frac{k}{m_ k}\).

   3. Si trovi un insieme E con \(\overline d(E) = \overline d(ℕ ⧵ E) = 1\).