EDB — 1YS

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3.1 Logica[1YS]

[23H]

Proposizioni

Definizione 1

[1VW]

Esempio 2

[1VX]

[23J]

Una proposizione può dipendere da alcune variabili. Esempi:

  • “la persona x di mestiere fa il panettiere”,

  • “il numero x è maggiore di 9”.

Scriveremo

\[ P(x)≐\text{``il numero x è maggiore di 9''} \]

per dire che \(P(x)\) è il simbolo che riassume la proposizione scritta a destra.

Nota 3

[23K]

Logica proposizionale

Definizione 4

[00D]

[ [00F]]
Definizione 5

[00G]

[1YK]
Nota 6

[228]

[ [00H]]
Definizione 7

[00J]

Dunque una formula ben formata è una “proposizione logica” in quanto assume valore di verità o di falsità, a seconda del valore dato alle sue variabili libere. Possiamo allargare la definizione aggiungendo che le proposizioni viste nella sezione precedente sono “formule atomiche”; ad esempio

“\(x\) è un numero minore di 3” \(∧\) “\(y\) è un numero pari”

sarà anch’essa una “formula ben formata”.

Per comodità, in questa Sezione, aggiungiamo al linguaggio anche le costanti \(V\) e \(F\) che sono rispettivamente sempre vere e sempre false, in ogni valutazione.  1 Nella costruzione delle formule ben formate vengono trattate come le variabili. Notate che non abbiamo introdotto il connettivo di uguaglianza “\(=\)”. Quando tutte le variabili possono assumere solo i valori vero/falso, l’uguaglianza \(a=b\) può essere interpretata come \(a\iff b\). In contesti più generali (come nel caso della teoria degli insiemi) invece “l’uguaglianza” necessita di una precisa definizione.

E7

[1VY]

E7

[00K]

E7

[00N]

E7

[22C]

E7

[2G8]

Logica del primo ordine

Nella logica del primo ordine si aggiungono i connettivi \(∀\), che si legge “per ogni” e \(∃\), che si legge “esiste”. Dobbiamo dunque allargare la famiglia delle formule ben formate.

Definizione 8

[00Q]

In ogni parte di una formula in cui una variabile è quantificata, questa variabile può essere sostituita con ogni altra variabile.
Nota 9

[1X1]

Nota 10

[2DC]

Notate che, in molti esempi, si suppone che le variabili quantificate siano elementi di un “insieme”.

Definizione 11

[1X2]

Definizione 12

[00R]

Usiamo qui il termine “insieme” in maniera informale, si veda la nota [01J].

Nota 13

[00S]

Dato che un elemento di un insieme potrebbe non avere un valore di verità/falsità, arricchiamo il linguaggio aggiungendo le “proposizioni logiche”.
Definizione 14

[00T]

Un esempio di proposizione logica potrebbe essere: “\(n\) è un numero pari”. Possiamo usare le proposizioni logiche come atomi nella costruzione delle formule ben formate.

E14

[00V]

E14

[00X]

E14

[00Z]

E14

[011]

E14

[016]

E14

[013]

  1. Le costanti \(V\) e \(F\) possono essere eliminate dalla logica definendole come \(V=A∨ ¬ A\) e \(F=¬ V\).
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Bibliografia
Indice analitico
  • formula, ben formata
  • atomo
  • uguaglianza
  • proposizione (logica)
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