Definizione
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[1ZF](Svolto il 2022-11-15) Un gruppo è un insieme \(G\) munito di una operazione binaria \(*\), che ad ogni coppia \(a,b∈ G\) associa un elemento \(a*b∈ G\), rispettando le seguenti proprietà
proprietà associativa: dati \(a, b, c∈ G\) vale \((a*b)*c=a*(b*c)\).
esistenza dell’elemento neutro: un elemento indicato con \(e\) tale che \(a*e=e*a=a\).
Esistenza dell’inverso: ad ogni elemento \(a∈ G\) è associato un elemento inverso \(a'\), tale che \( a*a'=a'*a=e\). L’inverso dell’elemento \(a\) è spesso indicato con \(a^{{-1}}\) (o \(-a\) se il gruppo è commutativo). 1
Un gruppo si dice commutativo (o abeliano) se vale anche \(a*b=b*a\) per ogni coppia \(a,b∈ G\).