Esercizio
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[205] Sia \(F\) un anello commutativo, \(a,b∈ F\), \(n∈ℕ\) allora
\[ (a+b)^{n}=∑ _{k=0}^{n}\binom {n}{k}a^{{n-k}}b^{k} \]
in cui il fattore
\[ \binom n k {\stackrel{.}{=}}\frac{n!}{k!(n-k)!} \]
si chiama “coefficiente binomiale”. (Questo risultato è noto come il teorema binomiale, formula di Newton, binomio di Newton o sviluppo binomiale). Per dimostrarlo per induzione, verificate che
\[ \binom {n+1}{k+1}=\binom {n}{k+1}+\binom {n}{k} \]
per \(0≤ k,k+1≤ n\).