Esercizio
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[20W] Prerequisiti:[20V].Difficoltà:*.Fissato \(𝛼 {\gt}1\), definite, per \(x∈ℝ\),
\[ 𝛼 ^ x=\sup \{ 𝛼^ p : p∈ℚ, p≤ x\} \quad ; \]
mostrate che:
è una buona definizione (cioè che l’insieme a destra è superiormente limitato e non vuoto).
che se \(x\) è razionale allora \(𝛼 ^ x\) così definito coincide con la definizione nel precedente esercizio [20V];
mostrate che \(x↦ 𝛼^ x\) è strettamente crescente.
Mostrate che
\[ 𝛼^{x}𝛼^ y=𝛼^{x+y}\quad ,\quad (𝛼^ x)^ y=𝛼^{(xy)}\quad . \]
Si veda anche l’esercizio [21N].