Teorema
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[21C] Assumiamo che \(a_ n\neq 0\). Sia \(𝛼=\limsup _{n→∞}\frac{|a_{n+1}|}{|a_{n}|}\) allora
Se \(𝛼{\lt}1\) la serie \(∑_{n=1}^∞ a_ n\) converge assolutamente;
se \(𝛼≥ 1\) non si può concludere nulla.
Proof
Se \(𝛼{\lt}1\), preso \(L∈(𝛼,1)\) si ha definitivamente \(\frac{|a_{n+1}|}{|a_{n}|}{\lt}L\) dunque vi è un \(N\) per cui \(\frac{|a_{n+1}|}{|a_{n}|}{\lt}L\) per ogni \(n≥ N\), per induzione si mostra che \(|a_ n|≤ L^{n-N} |a_ N|\) e si conclude per confronto con la serie geometrica.
Vediamo alcuni esempi. Per le due serie \(1/n\) e \(1/n^ 2\) si ha \(𝛼=1\).
Definendo
\begin{equation} a_ n= \begin{cases} 2^{-n} & n~ \text{pari}\\ 2^{2-n} & n~ \text{dispari}\\ \end{cases} \label{eq:f3422p3sa} \end{equation}21si ottiene una serie convergente ma per cui \(𝛼=2\).