EDB — 21C

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Teorema 20

[21C] Assumiamo che $a_{n} \neq 0$ . Sia $𝛼 = \underset{n \to \infty}{lim sup} \frac{| a_{n + 1} |}{| a_{n} |}$ allora

Proof ▼

Se $𝛼 < 1$ , preso $L \in (𝛼, 1)$ si ha definitivamente $\frac{| a_{n + 1} |}{| a_{n} |} < L$ dunque vi è un $N$ per cui $\frac{| a_{n + 1} |}{| a_{n} |} < L$ per ogni $n \geq N$ , per induzione si mostra che $| a_{n} | \leq L^{n - N} | a_{N} |$ e si conclude per confronto con la serie geometrica.
Vediamo alcuni esempi. Per le due serie $1 / n$ e $1 / n^{2}$ si ha $𝛼 = 1$ .

Definendo

$\begin{matrix} (1) & a_{n} = {\begin{cases} 2^{- n} & n pari \\ 2^{2 - n} & n dispari \end{cases} \end{matrix}$
21

si ottiene una serie convergente ma per cui $𝛼 = 2$ .

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Autori: "Mennucci , Andrea C. G." .

Bibliografia
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