Esercizi
[22F]Prerequisiti:[21W],[071],[07V],[07X].Difficoltà:*.Note:Esercizio 3 del compito del 29 Gennaio 2021.(Svolto il 2022-10-13
in parte)Sia dato \((X,≤_ X )\) dove \(X\) un insieme infinito e \(≤_ X\) è un buon ordinamento.
Se \(X\) non ha massimo, allora esiste \((Y,≤_ Y )\) tale che posto \(Z=Y× ℕ\) con \(≤_ Z\) l’ordinamento lessicografico, allora \((X,≤_ X)\) e \((Z,≤_ Z)\) hanno lo stesso tipo d’ordine.
Se invece \(X\) ha massimo, allora esistono \((Y,≤_ Y )\) e \(k∈ℕ\) tale che, posto \(Z\) essere la concatenazione di \(Y× ℕ\) e di \(\{ 0,\ldots k\} \) (dove \(Y×ℕ\) ha l’ordinamento lessicografico, come sopra), allora \((X,≤_ X)\) e \((Z,≤_ Z)\) hanno lo stesso tipo d’ordine.
Mostrate che, nei casi precedenti, \(Y\) è bene ordinato.
Soluzione 1