Lemma
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[22S]Sia \(A⊆ X\) non vuoto. Ricordiamo queste proprietà dell’estremo superiore.
Se \(A\) ha massimo \(m\) allora \(m=\sup A\).
Sia \(s∈ X\). Si ha \(s=\sup A\) se e solo se
per ogni \(x∈ A\) si ha \(x≤ s\).
per ogni \(x∈ X\) con \(x{\lt}s\) esiste \(y∈ A\) con \(x{\lt} y\).
Quest’ultima proprietà è di larghissimo uso nell’analisi!
La dimostrazione è lasciata come (utile) esercizio.
Soluzione
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