EDB — 22S

[22S]Sia $A\subseteq X$ non vuoto. Ricordiamo queste proprietà dell’estremo superiore.

1. Se $A$ ha massimo $m$ allora $m=supA$.

2. Sia $s\in X$. Si ha $s=supA$ se e solo se

   • per ogni $x\in A$ si ha $x\le s$.

   • per ogni $x\in X$ con $x<s$ esiste $y\in A$ con $x<y$.

Quest’ultima proprietà è di larghissimo uso nell’analisi!

La dimostrazione è lasciata come (utile) esercizio.