Definizione
27
[23Z]Indichiamo formalmente con \(D\) l’operazione “calcolo della derivata”. Dato un polinomio \(p(x)\)
\[ p(x)=a_ n x^{n} + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_{1} x + a_ 0 \]
(che ha coefficienti \(a_ i∈ℂ\), costanti) costruiamo formalmente l’operatore lineare
\[ p(D)=a_ n D^{n} + a_{n-1} D^{n-1} + \dots a_{1} D + a_ 0 \]
che trasforma una funzione \(f:ℝ→ℂ\) di classe \(C^{n+k}\) nella funzione \(p(D) f\), di classe almeno \(C^ k\), definita puntualmente da
\[ [p(D) f] (x) {\stackrel{.}{=}}a_ n f^{(n)}(x) + a_{n-1} f^{(n-1)}(x) + \dots a_{1} f'(x) + a_ 0 f(x)\quad . \]