3.8 Numeri naturali in ZF[246]
In questa sezione costruiremo un modello dei numeri naturali all’interno della teoria ZF degli insiemi; questo modello soddisfa gli assiomi di Peano [1XD] e ha un ordinamento che soddisfa [26H], dunque questo modello gode di tutte le proprietà elencate in Sez. [1X9]; per questo motivo in questa sezione approfondiremo solo le proprietà specifiche di questo modello.
Successore
Numeri naturali in ZF
Usando l’assioma dell’infinito [243] si può mostrare la esistenza dell’insieme dei numeri naturali.
Possiamo anche dimostrare direttamente il principio di induzione.
Per dimostrare il teorema precedente si possono usare gli esercizi nella prossima sezione.
Le proprietà dell’insieme ordinato \(ℕ,⊆\) sono dunque queste.
Per approfondimenti si veda negli appunti del corso (Cap. 1 Sez. 7 in [ 3 ] ); o anche in [ 14 ] , [ 13 ] .
Insiemi transitivi
Gli esercizi precendenti dimostrano il Teorema [24D], dopodiché dai risultati in Sez. [1X9] otteniamo che \((ℕ,≤)\) è bene ordinato.
A seguire altri interessanti esercizi.
Ordinali
Sfruttando i risultati precedenti, possiamo dare qualche cenno della teoria degli ordinali.
[ (da sistemare) ]