EDB — 246

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3.8 Numeri naturali in ZF[246]

In questa sezione costruiremo un modello dei numeri naturali all’interno della teoria ZF degli insiemi; questo modello soddisfa gli assiomi di Peano [1XD] e ha un ordinamento che soddisfa [26H], dunque questo modello gode di tutte le proprietà elencate in Sez. [1X9]; per questo motivo in questa sezione approfondiremo solo le proprietà specifiche di questo modello.

Successore

Definizione 195

[24X]

E195

[24V]

E195

[24M]

E195

[239]

E195

[245]

E195

[1YM]

E195

[24Q]

E195

[24S]

Numeri naturali in ZF

Definizione 196

[243]

Usando l’assioma dell’infinito [243] si può mostrare la esistenza dell’insieme dei numeri naturali.

Teorema 197

[244]

Esempio 198

[291]

Nota 199

[25C]

Possiamo anche dimostrare direttamente il principio di induzione.

Teorema 200 Principio di induzione

[23B]

Teorema 201

[24D]

Per dimostrare il teorema precedente si possono usare gli esercizi nella prossima sezione.

Nota 202

[26K]

Le proprietà dell’insieme ordinato \(ℕ,⊆\) sono dunque queste.

Proposizione 203

[26J]

Per approfondimenti si veda negli appunti del corso (Cap. 1 Sez. 7 in [ 3 ] ); o anche in [ 14 ] , [ 13 ] .

Insiemi transitivi

Definizione 204

[24Z]

Esempio 205

[290]

E205

[25J]

E205

[257]

E205

[26N]

E205

[26P]

Gli esercizi precendenti dimostrano il Teorema [24D], dopodiché dai risultati in Sez. [1X9] otteniamo che \((ℕ,≤)\) è bene ordinato.

A seguire altri interessanti esercizi.

E205

[269]

E205

[265]

E205

[25D]

E205

[25W]

E205

[25Z]

Ordinali

Sfruttando i risultati precedenti, possiamo dare qualche cenno della teoria degli ordinali.

Definizione 206

[26D]

E206

[25Q]

E206

[25B]

E206

[25N]

E206

[25M]

E206

[25G]

E206

[255]

E206

[26S]

E206

[26V]

Nota 207

[275]

[ (da sistemare) ]

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