Nota
15
[25C]Vale questo risultato
\[ β yββ, yβ β
β β xββ , S(x)=y \]
questo puΓ² essere dimostrato per induzione, come in [1YP], o mostrando che se
\[ β yββ, yβ β
β§ β xββ , S(x)β y \]
allora \(β ⧡ \{ y\} \) sarebbe un insieme S-saturo piΓΉ piccolo di \(β\), una contraddizione. In particolare da [1YM] si ottiene che la funzione successore
\[ S:β β β⧡\{ 0\} \]
Γ¨ bigettiva.
Se \(n\neq 0\) chiameremo \(S^{-1}(n)\) il predecessore di \(n\).