Proposizione
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[28Z] \(≤\) è una relazione di ordine totale.
Proof
Si considera la proposizione
\[ P(n)≐ ∀ m∈ℕ, n≤ m ∨ m≤ n \]
Si ha che \(P(0)\) è vera. Diamo per vera \(P(n)\); prendiamo un \(m\);
se \(m≤ n\) allora \(m≤ S(n)\) per il lemma (punto [2]), così \(P(Sn)\) vale;
se \(¬ m≤ n\) ma \(P(n)\) vale, allora \(n≤ m\), ma non potendo essere \(n=m\), si ottiene \(n{\lt}m\), che comporta \(S(n)≤ m\) per il lemma (punto [4]);
in ogni caso \(P(S(n))\) è dimostrata partendo da \(P(n)\).