Esercizio
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[29R]Prerequisiti:[20F],[29J],[06M],[0FR],[0FT].Difficoltà:*.(Proposto il 2022-11-24)
Sia \(I⊂ ℝ\), \(x_ 0∈ \overline{ℝ}\) punto di accumulazione di \(I\), \(f:I→ ℝ\) funzione. Come in [29J] siano \({\mathcal F}\) tutti gli intorni di \(x_ 0\) con l’ordinamento filtrante
\[ U,V∈ {{\mathcal F}}~ ~ , U≤ V \iff U⊇ V\quad . \]
Sia
\[ s,i : {\mathcal F}→ℝ~ ~ ,~ ~ s(U) = \sup _{x∈ U∩ I} f(x)~ ~ ,~ ~ i(U) = \inf _{x∈ U∩ I} f(x) \]
notate che sono funzioni monotone, e mostrate che 1
\begin{align} \limsup _{x→ x_ 0} f(x) {\stackrel{.}{=}}\inf _{U∈ {\mathcal F}} s(U) = \lim _{U∈ {\mathcal F}} s(U) \label{eq:limsup_ R_ F} \\ \liminf _{x→ x_ 0} f(x) {\stackrel{.}{=}}\sup _{U ∈ {\mathcal F}} i(U) = \lim _{U ∈ {\mathcal F}} i(U) \label{eq:liminf_ R_ F} \end{align}
dove i limiti sono definiti in [0FR].