EDB — 29R

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Esercizio 48

[29R]Prerequisiti:[20F],[29J],[06M],[0FR],[0FT].Difficoltà:*.(Proposto il 2022-11-24)

Sia $I \subset ℝ$ , $x_{0} \in \overset{―}{ℝ}$ punto di accumulazione di $I$ , $f : I \to ℝ$ funzione. Come in [29J] siano $F$ tutti gli intorni di $x_{0}$ con l’ordinamento filtrante

U, V \in F, U \leq V ⟺ U \supseteq V .

Sia

s, i : F \to ℝ, s (U) = sup_{x \in U \cap I} f (x), i (U) = inf_{x \in U \cap I} f (x)

notate che sono funzioni monotone, e mostrate che ¹

\begin{array}{r} (1) & \underset{x \to x_{0}}{lim sup} f (x) \dot{=} inf_{U \in F} s (U) = lim_{U \in F} s (U) \\ (2) & \underset{x \to x_{0}}{lim inf} f (x) \dot{=} sup_{U \in F} i (U) = lim_{U \in F} i (U) \end{array}

dove i limiti sono definiti in [0FR].

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Authors: "Mennucci , Andrea C. G." .

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liminf, di funzione
limsup, di funzione
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