EDB — 2BR

[2BR]Sia \((X,𝜏)\) uno spazio topologico. Dati \(A,B⊆ X\), per abbreviare le formule useremo la notazione (nonstandard)

• \(A{\mathbf{i}}B\) per dire che \(A,B\) hanno intersezione non vuota,

• \(A{\mathbf{d}}B\) per dire che sono disgiunti, e

• \({\mathbf{n}}A\) per dire che \(A\) non è vuoto.

Ricordiamo la definizione di s/connessione (Cap. 5 Sez. 11 degli appunti [ 3 ] oppure Cap. 2 in [ 26 ] ).

• Lo spazio \(X\) è sconnesso se è l’unione disgiunta di due aperti non vuoti.

• Lo spazio \(X\) è connesso se non è sconnesso. Questo può essere scritto in molteplici modi, come ad esempio

  \[ ∀ A,B∈ 𝜏, ( {\mathbf{n}}A ~ ∧~ {\mathbf{n}}B ~ ∧~ X⊆ A∪ B ) ⇒ A{\mathbf{i}}B~ . \]

• Un suo sottoinsieme \(E⊆ X\) nonvuoto è sconnesso se è sconnesso con la topologia indotta; cioè se \(E\) è coperto dall’unione di due aperti, ciascuno dei quali interseca \(E\), ma che sono disgiunti in \(E\); in simboli,

  \begin{equation} ∃ A,B∈ 𝜏, E{\mathbf{i}}A ~ ∧~ E{\mathbf{i}}B~ ∧~ E⊆ A∪ B~ ∧~ A∩ B∩ E= ∅~ . \label{eq:E_ sconnesso_ lunga} \end{equation}

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• Similmente \(E⊆ X\) nonvuoto è connesso se è connesso con la topologia indotta. Questo si può scrivere così

  \begin{equation} ∀ A,B∈ 𝜏, (E{\mathbf{i}}A~ ∧ ~ E{\mathbf{i}}B~ ∧ ~ E⊆ A∪ B )⇒ A∩ B∩ E≠ ∅~ .\label{eq:E_ connesso_ lunga} \end{equation}

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  o equivalentemente

  \begin{equation} ∀ A,B∈ 𝜏, ( E⊆ A∪ B ∧ A∩ B∩ E= ∅ )⇒ ( E⊆ A \lor E⊆ B )~ .\label{eq:E_ connesso_ lunga_ 2} \end{equation}

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