EDB — 2F5

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E14

[2F5] Si consideri un insieme totalmente ordinato \(X\) (con almeno due elementi), e la famiglia \(\mathcal F\) di tutti gli intervalli aperti

\begin{align} (x,∞) {\stackrel{.}{=}}\{ z∈ X : x{\lt}z\} ~ ~ ,~ ~ (-∞,y){\stackrel{.}{=}}\{ z∈ X : z{\lt}y\} ~ ~ ,\nonumber \\ ~ ~ (x,y){\stackrel{.}{=}}\{ z∈ X : x{\lt}z{\lt}y\} \label{eq:intervalli_ topologia_ ordine} \end{align}

per tutti \(x,y∈ X\). (Cf. [07D].) Dimostrare che questa è una base per una topologia, i.e. che soddisfa [0KZ]. Quindi \(\mathcal F\) è una base per la topologia \(𝜏\) che essa genera. Questa topologia \(𝜏\) è chiamata topologia d’ordine.

Se \(X\) non ha né massimo né minimo, allora gli intervalli \((x,y)\) da soli sono già una base per \(𝜏\). Questo è il caso delle usuali topologie in \(ℝ\), \(ℚ\), \(ℤ\).

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