[2FG]I simboli \(()\) usati per le parentesi sono purtroppo sovraccarichi di significati nel linguaggio matematico comune.
Sono usati per raggruppare operazioni algebriche, per indurre un diverso ordine di operazioni (rispetto alle regole standard di precedenza). Ad esempio, per \(x,y∈ℝ\), 1 l’espressione \( x(y+2)\) è identica a \( xy +2x\) e non a \(xy+2\).
Sono usati per indicare argomenti di funzioni. Ad esempio l’espressione \( f(x+y)\) dovrebbe essere letta come \( fx +fy\), se \(f,x,y∈ ℝ\) 2 ; mentre, se \(f\) è una funzione \(f:ℝ→ B\), allora \( f(x+y)\) è il risultato \(f(z)\) ottenuto valutando \(f\) sull’elemento \(z=x+y\).
Per distinguere questi due usi, può essere sufficiente aggiungere un simbolo esplicito per indicare la "moltiplicazione", ad esempio scrivere \( f*(x+y)\) quando dovrebbe essere letto come \( f*x +f*y\). (Alcuni autori scrivono anche \( f.(x+y)\) con un "punto")
Sono usati per definire intervalli, ad esempio, \((1,𝜋)\) può essere l’abbreviazione di: «l’insieme dei numeri reali maggiori di 1 e minori di \(𝜋\);» cioè
\[ (1,𝜋)=\{ t∈ℝ:1{\lt}t{\lt}𝜋 \} ~ ; \]questo si estende agli insiemi ordinati, si veda Sez. [2DW].
Sono usati per rappresentare elementi del prodotto cartesiano; ad esempio, \((1,𝜋)\) è un punto in \(ℝ^ 2\) con 1 come ascissa e \(𝜋\) come ordinata.
Mentre la prima e la seconda situazione sono solitamente discernibili e riconoscibili, la terza e la quarta possono causare confusione.
È necessaria una certa attenzione nell’analisi delle frasi che coinvolgono prodotti cartesiani di insiemi ordinati, come ad esempio: «un punto \((x,y)\) nel rettangolo \(R\) del piano che è il prodotto \(R=(0,1)× (2,4)\)». Qui \((x,y)\) è un punto in \(ℝ^ 2\) mentre \((0,1), (2,4)\) sono intervalli in \(ℝ\).
Per evitare confusione, possiamo usare una notazione diversa per i punti e/o per gli intervalli: molti simboli simili a "parentesi" sono disponibili al giorno d’oggi nello spazio di codice Unicode esteso; e sono utilizzabili in LaTeX usando il pacchetto unicode-math.
Ad esempio, nell’affermazione precedente, possiamo usare questa notazione (non standard): parentesi barrate \( ⦗\ldots ⦘\) per indicare il punto in \(ℝ^ 2\) con \(x\) come ascissa e \(y\) come ordinata; le doppie parentesi \( ⦅ a,b ⦆= \{ t∈ℝ : a{\lt}t{\lt}b\} \) per gli intervalli; in modo da ottenere «un punto \(⦗x,y⦘\) nel rettangolo \(R\) del piano che è il prodotto \(R= ⦅ 0,1 ⦆× ⦅ 2,4 ⦆\)». In questo caso, per coerenza tipografica, possiamo usare allo stesso tempo doppie parentesi quadre per intervalli chiusi, ad esempio \(⟦2,4 ⟧\).
Questo può essere considerato eccessivo per questo esempio. Ma la situazione può essere più complicata!
Ad esempio, potremmo avere a che fare con intervalli di elementi di un insieme ordinato \(X\), che è anche un prodotto cartesiano \(X=X_ 1× X_ 2\) di insiemi ordinati \(X_ 1,X_ 2\) (!) 3 In tal caso, possiamo prima etichettare gli ordinamenti: \(≤_ 1\) essendo la relazione d’ordine su \(X_ 1\), \(≤_ 2\) essendo la relazione d’ordine su \(X_ 2\), e \(⪯\) essendo la relazione d’ordine su \(X\); e utilizzare una notazione (non standard) per gli intervalli, ad esempio
per gli intervalli aperti nel primo insieme (con estremi \(a,b∈ X_ 1\)),
per intervalli aperti nel prodotto cartesiano \(X\) (con estremi \(z,w∈ X\)), e così via. Ancora una volta, per coerenza tipografica, possiamo usare doppie parentesi quadre per intervalli chiusi, come ad esempio
e così via.
Nel seguito useremo spesso le usuali parentesi \(()\), come è consuetudine; ma in certi contesti useremo la notazione proposta in questa nota (quando potrebbe aiutare nella comprensione del testo).