EDB — 02F

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Esercizio 14

[02F]Prerequisiti:[1Z7].Siano \(a_ n,b_ n\) successioni reali (che possono avere segno variabile, assumere valore zero, e non sono necessariamente infinitesime); sia \(X=ℝ^ℕ\) lo spazio di tutte le successioni.

Ricordiamo che la notazione \(a_ n=O(b_ n)\) significa:

\[ ∃ M{\gt}0, ~ ∃ \overline n∈ℕ, ~ ∀ n∈ℕ, n≥ \overline n \Rightarrow |a_ n|≤ M|b_ n|~ . \]

Si mostrino queste asserzioni:

  • per \(a,b∈ X , a=(a_ n)_ n,b=(b_ n)_ n\) consideriamo la relazione

    \[ aRb \iff a_ n=O(b_ n) \]

    mostrate che \(R\) è un preordine;

  • definiamo \(x ≍ y\iff (xRy ∧ yRx)\) allora \(≍\) è una relazione di equivalenza, inoltre \(R\) è invariante per \(≍\), la sua proiezione \(⪯\) è una relazione d’ordine su \(X/≍\); (sugg. usate la Prop. [127]).

  • Definite (come usuale)

    \[ \hat a≺ \hat b \iff (\hat a⪯ \hat b ∧ \hat a≠ \hat b) \]

    per \(\hat a,\hat b∈ X/≍\), \((a_ n)_ n\in \hat a,(b_ n)_ n\in \hat b\) rappresentanti; assumendo che \(b_ n≠ 0\) (definitivamente in \(n\)), mostrate che

    \[ \hat a≺ \hat b \iff 0=\liminf _ n \frac{a_ n}{b_ n}≤ \limsup _ n\frac{a_ n}{b_ n} {\lt}∞\quad . \]

Chiamiamo gli elementi di \(X/≍\) ordini di grandezza. La precendente discussione è collegato alla Definizione 3.2.3 (e seguenti) in [ 3 ] .

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