EDB — 0C1

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Esercizi

  1. [0C1]Prerequisiti:[0BW]. (Teorema di approssimazione di Dirichlet) Dato un numero irrazionale \(x\), si dimostri che esistono infiniti razionali \(𝛼\) tali che si può rappresentare \(𝛼=m/n\) in modo da soddisfare la relazione

    \[ \left| x - \frac m n \right| {\lt} \frac 1{n^ 2}\quad . \]

    Alcuni commenti.

    • Si noti per ogni fissato \(n≥ 2\) esiste al più un \(m\) per cui la precedente relazione vale; ma potrebbe non esisterne uno.

    • Si noti che se la relazione vale per un \(𝛼\) razionale, vi sono solo finite scelte di rappresentazioni per cui vale,

    • e sicuramente vale per la scrittura “canonica” con \(n,m\) primi fra loro.

    Soluzione 1

    [0C2]

    [2B0]

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