EDB — 0C1

Esercizi

1. [0C1]Prerequisiti:[0BW]↺↻. (Teorema di approssimazione di Dirichlet) Dato un numero irrazionale $x$, si dimostri che esistono infiniti razionali $𝛼$ tali che si può rappresentare $𝛼=m/n$ in modo da soddisfare la relazione

   $$|x-\frac{m}{n}|<\frac{1}{n^2}.$$

   Alcuni commenti.

   • Si noti per ogni fissato $n\ge 2$ esiste al più un $m$ per cui la precedente relazione vale; ma potrebbe non esisterne uno.

   • Si noti che se la relazione vale per un $𝛼$ razionale, vi sono solo finite scelte di rappresentazioni per cui vale,

   • e sicuramente vale per la scrittura “canonica” con $n,m$ primi fra loro.

   Soluzione 1

   [0C2]↺↻

   [2B0]↺↻