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Esercizio 13

[0DJ]Siano \(a_ n,b_ n\) successioni reali (che possono avere segno variabile, assumere valore zero, e non sono necessariamente infinitesime).

Ricordiamo che la notazione \(a_ n=o(b_ n)\) significa:

\[ βˆ€ \varepsilon {\gt}0, ~ βˆƒ \overline nβˆˆβ„•, ~ βˆ€ nβˆˆβ„•, nβ‰₯ \overline n \Rightarrow |a_ n|≀ \varepsilon |b_ n|~ . \]

Si mostri che queste due asserzioni sono equivalenti.

  • Definitivamente in \(n\) si ha che \(a_ n=0\iff b_ n=0\); precisato questo si ha \(\lim _ n\frac{a_ n}{b_ n}=1\), dove si decide che \(0/0=1\) (in particolare \(a_ n,b_ n\) hanno definitivamente lo stesso segno, quando non sono entrambi nulli);

  • si ha che \(a_ n=b_ n+o(b_ n)\).

La seconda condizione appare in Definizione 3.2.7 in [ 3 ] dove viene indicata con la notazione \(a_ n\sim b_ n\).

Deducete che \(a_ n\sim b_ n\) Γ¨ una relazione di equivalenza.

Soluzione 1

[29Y]

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