Esercizio
13
[0DJ]Siano \(a_ n,b_ n\) successioni reali (che possono avere segno variabile, assumere valore zero, e non sono necessariamente infinitesime).
Ricordiamo che la notazione \(a_ n=o(b_ n)\) significa:
\[ β \varepsilon {\gt}0, ~ β \overline nββ, ~ β nββ, nβ₯ \overline n \Rightarrow |a_ n|β€ \varepsilon |b_ n|~ . \]
Si mostri che queste due asserzioni sono equivalenti.
Definitivamente in \(n\) si ha che \(a_ n=0\iff b_ n=0\); precisato questo si ha \(\lim _ n\frac{a_ n}{b_ n}=1\), dove si decide che \(0/0=1\) (in particolare \(a_ n,b_ n\) hanno definitivamente lo stesso segno, quando non sono entrambi nulli);
si ha che \(a_ n=b_ n+o(b_ n)\).
La seconda condizione appare in Definizione 3.2.7 in [ 3 ] dove viene indicata con la notazione \(a_ n\sim b_ n\).
Deducete che \(a_ n\sim b_ n\) Γ¨ una relazione di equivalenza.
Soluzione
1