Esercizio
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[0DJ]Siano \(a_ n,b_ n\) successioni reali (che possono avere segno variabile, assumere valore zero, e non sono necessariamente infinitesime).
Ricordiamo che la notazione \(a_ n=o(b_ n)\) significa:
\[ ∀ \varepsilon {\gt}0, ~ ∃ \overline n∈ℕ, ~ ∀ n∈ℕ, n≥ \overline n \Rightarrow |a_ n|≤ \varepsilon |b_ n|~ . \]
Si mostri che queste due asserzioni sono equivalenti.
Definitivamente in \(n\) si ha che \(a_ n=0\iff b_ n=0\); precisato questo si ha \(\lim _ n\frac{a_ n}{b_ n}=1\), dove si decide che \(0/0=1\) (in particolare \(a_ n,b_ n\) hanno definitivamente lo stesso segno, quando non sono entrambi nulli);
si ha che \(a_ n=b_ n+o(b_ n)\).
La seconda condizione appare in Definizione 3.2.7 in [ 3 ] dove viene indicata con la notazione \(a_ n\sim b_ n\).
Deducete che \(a_ n\sim b_ n\) è una relazione di equivalenza.
Soluzione
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