Teorema
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[0DR](Svolto il 2022-12-13) Consideriamo la serie \(∑_{n=1}^∞ a_ n\) dove i termini sono positivi: \(a_ n{\gt}0\). Definiamo
\[ z_ n = n\left(\frac{a_ n}{a_{n+1}}-1\right) \]
per comodità.
Se \(z_ n ≤ 1\) definitivamente in \(n\), allora la serie non converge.
Se esiste \(L{\gt}1\) tale che \( z_ n≥ L\) definitivamente in \(n\), cioè equivalentemente se
\[ \liminf _{n→∞} z_ n{\gt}1\quad , \]allora la serie converge.
Inoltre, fissato \(h∈ {\mathbb {Z}}\), si può definire
\[ z_ n = (n+h)\left(\frac{a_ n}{a_{n+1}}-1\right) \]
oppure
\[ z_ n = n\left(\frac{a_{n+h}}{a_{n+h+1}}-1\right) \]
come ad esempio
\[ z_ n = n\left(\frac{a_{n-1}}{a_{n}}-1\right) \]
e il criterio vale allo stesso modo.
Soluzione
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