Esercizi
[0M9] Prerequisiti:[06N], [0KX]. Verifichiamo che quanto espresso in [0GQ] vale anche per le “basi”. Sia \({{\mathcal B}}\) una base per una topologia \(𝜏\) su \(X\); consideriamo l’ordinamento discendente fra insiemi (formalmente \(A ⪯ B \iff A⊇ B\)); con questo ordinamento \(({{\mathcal B}},⪯)\) è un insieme diretto, il cui minimo è \(∅\). Supponiamo ora che la topologia sia Hausdorff. Preso poi \(x∈ X\), sia \({{\mathcal U}}=\{ A∈{{\mathcal B}}: x∈ A\} \) la famiglia degli elementi della base che contengono \(x\): mostrate che \({{\mathcal U}}\) è un insieme diretto; mostrate che ha minimo se e solo se il singoletto \(\{ x\} \) è aperto.
Soluzione 1