EDB — 0M9

Esercizi

1. [0M9] Prerequisiti:[06N]↺↻, [0KX]↺↻. Verifichiamo che quanto espresso in [0GQ]↺↻ vale anche per le “basi”. Sia $\mathcal{B}$ una base per una topologia $𝜏$ su $X$; consideriamo l’ordinamento discendente fra insiemi (formalmente $A⪯B⟺A\supseteq B$); con questo ordinamento $(\mathcal{B},⪯)$ è un insieme diretto, il cui minimo è $\varnothing$. Supponiamo ora che la topologia sia Hausdorff. Preso poi $x\in X$, sia $\mathcal{U}=\{A\in \mathcal{B}:x\in A\}$ la famiglia degli elementi della base che contengono $x$: mostrate che $\mathcal{U}$ è un insieme diretto; mostrate che ha minimo se e solo se il singoletto $\{x\}$ è aperto.

   Soluzione 1

   [0MB]↺↻