EDB — 0MP

[0MP]Difficoltà:*.Restringiamo la topologia descritta nell’esempio precedente all’insieme \(Y=[0,1]^{[0,1]}\) (cioè, restringiamo \(ℝ\) a \([0,1]\), e poniamo \(Ω=[0,1]\)). Trovate una successione \((f_ n)⊂ Y\) che non ammetta una sottosuccessione convergente.

Ricordiamo la definizione [0J3]↺↻: uno spazio \(X\) è “compatto per ricoprimenti” se, per ogni \((A_ i)_{i∈ I}\) famiglia di aperti tale che \(⋃_{i∈ I}A_ i= X\), esiste una sotto famiglia finita \(J⊂ I\) tale che \(⋃_{i∈ J}A_ i= X\). Sappiate che, per un importante teorema dovuto a Tychonoff, questo spazio \(Y\) è “compatto per ricoprimenti”. Questo esercizio vi mostra invece che \(Y\) non è “compatto per successioni”.