EDB — 0NX

[0NX] Per gli esercizi seguenti definiamo che

1. un insieme \(E\) è aperto se

   \begin{equation} \label{eq:defaperti} ∀ x_ 0 ∈ E , ∃ r>0: B(x_ 0,r)⊆ E\quad . \end{equation}

   4

   Si mostra che \(∅,X\) sono aperti; l’intersezione di un numero finito di aperti è un aperto; l’unione di un numero arbitrario di aperti è un aperto. Dunque questi aperti formano una topologia.

2. La parte interna \({{E}^\circ }\) di un insieme \(E\) è

   \begin{equation} \label{eq:internooperativo} {{E}^\circ }=\bigl\{ x∈ E: \exists r>0, B_ r(x)⊆ E \bigr\} \ ; \end{equation}

   5

   si verifica facilmente che \({{E}^\circ }⊆ E\), e che \(E\) è aperto se e solo se \({{E}^\circ }=E\) (esercizio [0PB]↺↻).

3. Un insieme è chiuso se il complementare è aperto.

4. Un punto \(x_ 0∈ X\) è aderente a \(E\) se

   \[ ∀\, r{\gt}0\ ,\quad E∩ B_ r(x_ 0)≠∅ \quad . \]

5. La chiusura \(\overline E\) di \(E\) è l’insieme dei punti aderenti; si verifica facilmente che \({E}⊆ \overline{E}\); si mostra che \(\overline E=E\) se e solo se \(E\) è chiuso (esercizio [0PM]↺↻).

6. \(A\) si dice denso in \(B\) se \(\overline A ⊇ B\), cioè se per ogni \(x ∈ B\) e per ogni \(r {\gt} 0\) l’intersezione \(B_ r (x) ∩ A\) è non vuota.