EDB — 0QM

[0QM]

Rivediamo l’esercizio [0PT]↺↻.

Presi \((X_ 1,d_ 1),\ldots ,(X_ n,d_ n)\) spazi metrici, sia \(X=X_ 1× X_ 1× \cdots × X_ n\).

Sia \(d\) la distanza

Questa è la stessa \(d\) definita come in eqn. [(9.26)]↺↻ in [0PT]↺↻, ponendo \(𝜑(x)=\max _{i=1\ldots n}|x_ i|\). Indichiamo con \(B^ d(x,r)\) la palla in \((X,d)\) di centro \(x∈ X\) e raggio \(r{\gt}0\).

Vogliamo mostrare che \(d\) induce la topologia prodotto su \(X\), usando i risultati visti in Sez. [2B5]↺↻.

Presi \(t∈ X_ i, r{\gt}0\) indichiamo con \(B^{d_ i}(t,r)\) la palla nello spazio metrico \((X_ i,d_ i)\). Sia \({\mathcal B}_ i\) la famiglia di tutte le palle in \((X_ i,d_ i)\).

Sia \(\mathcal B\) definito come

Mostrate che ogni palla \(B^ d(x,r)\) in \((X,d)\) è il prodotto cartesiano delle palle \(B^{d_ i}(x_ i,r)\) in \((X_ i,d_ i)\). Sia dunque \(\mathcal P\) la famiglia delle palle \(B^ d(x,r)\) in \((X,d)\).

Da [0QJ]↺↻ sappiamo che \(\mathcal P\) è una base per la topologia standard nello spazio metrico \((X,d)\).

Usate [0M7]↺↻ per mostrare che \(\mathcal P\) e \({\mathcal B}\) generano la stessa topologia \(𝜏\).

Usate [0M5]↺↻ per mostrare che \(𝜏\) è la topologia prodotto.

Se ne conclude che la distanza \(d\) genera la topologia prodotto.