EDB — 0Z7

[0Z7]Prerequisiti: [10X]↺↻ [0Z1]↺↻ [0Z3]↺↻.Difficoltà:*.Sia \(K⊆ ℝ^ m\) compatto. Consideriamo la famiglia dei cubi chiusi di lato \(2^{-n}\) e centri nei punti della griglia \(2^{-n}ℤ^ m\). La chiamiamo “n-tassellatura”. Sia \(N_ n\) il numero di cubi della n-tassellatura che intersecano \(K\). Mostrate che \(N_ n\) è debolmente crescente. Mostrate che il seguente limite esiste

se e solo se esiste il limite [(10.3)]↺↻ che definisce la dimensione, e se esistono coincidono. Questo approccio al calcolo della dimensione viene chiamato Box Dimension in Inglese.

Queste quantità hanno una interpretazione nella teoria “rate-distortion”. “\(n\)” è la posizione dell’ultima cifra significativa (in base 2) nel determinare la posizione di un punto \(x\). “\(\log _ 2 N_ n\)” è il numero di “bit” necessari per identificare un qualunque \(x∈ K\) con tale precisione.