EDB — 0Z7

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E17

[0Z7]Prerequisiti: [10X] [0Z1] [0Z3].Difficoltà:*.Sia \(K⊆ ℝ^ m\) compatto. Consideriamo la famiglia dei cubi chiusi di lato \(2^{-n}\) e centri nei punti della griglia \(2^{-n}ℤ^ m\). La chiamiamo “n-tassellatura”. Sia \(N_ n\) il numero di cubi della n-tassellatura che intersecano \(K\). Mostrate che \(N_ n\) è debolmente crescente. Mostrate che il seguente limite esiste

\begin{equation} \lim _{n→ ∞}\frac{\log _ 2 N_ n}{n}\label{eq:dim_ K_ box} \end{equation}
18

se e solo se esiste il limite [(10.3)] che definisce la dimensione, e se esistono coincidono. Questo approccio al calcolo della dimensione viene chiamato Box Dimension in Inglese.

Soluzione 1

[0Z8]

Queste quantità hanno una interpretazione nella teoria “rate-distortion”. “\(n\)” è la posizione dell’ultima cifra significativa (in base 2) nel determinare la posizione di un punto \(x\). “\(\log _ 2 N_ n\)” è il numero di “bit” necessari per identificare un qualunque \(x∈ K\) con tale precisione.

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Bibliography
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  • box
  • tassellatura
  • dimensione, box dimension
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