EDB — 0Z7

[0Z7]Prerequisiti: [10X]↺↻ [0Z1]↺↻ [0Z3]↺↻.Difficoltà:*.Sia $K\subseteq {ℝ}^m$ compatto. Consideriamo la famiglia dei cubi chiusi di lato $2^{-n}$ e centri nei punti della griglia $2^{-n}{\mathbb{Z}}^m$. La chiamiamo “n-tassellatura”. Sia $N_n$ il numero di cubi della n-tassellatura che intersecano $K$. Mostrate che $N_n$ è debolmente crescente. Mostrate che il seguente limite esiste

se e solo se esiste il limite [(10.3)]↺↻ che definisce la dimensione, e se esistono coincidono. Questo approccio al calcolo della dimensione viene chiamato Box Dimension in Inglese.

Queste quantità hanno una interpretazione nella teoria “rate-distortion”. “$n$” è la posizione dell’ultima cifra significativa (in base 2) nel determinare la posizione di un punto $x$. “${\log }_2{N}_n$” è il numero di “bit” necessari per identificare un qualunque $x\in K$ con tale precisione.