EDB — 10F

[10F] Prerequisiti:[1H8]↺↻.Dati \(t,s∈[1,∞]\) con \(s{\gt}t\) e \(x∈ℝ^ n\) mostrate che \(\| x\| _{s}≤ \| x\| _{t}\). Inoltre mostrate che \(\| x\| _{s}{\lt} \| x\| _{t}\) se \(n≥ 2\) e \(x≠ 0\) e \(x\) non è multiplo di uno dei vettori della base canonica \(e_ 1,\ldots e_ n\).

Suggerimenti:

1. usate che \(1+t^ p≤ (1+t)^ p\) per \(p≥ 1\) e \(t≥ 0\); o

2. usate i moltiplicatori di Lagrange; o

3. ricordiamo che \(f(a+b){\gt} f(a)+f(b)\) quando \(a≥ 0, b{\gt}0\) \(f(0)=0\) e \(f:[0,∞)→ℝ\) è strettamente convessa e continua in 0 (si veda l’esercizio [192]↺↻), dunque derivate \(\frac{d\hskip5.5pt}{d{t}}(\log \| x\| _{t})\) e ponete \(f(z)=z\log (z)\)).