EDB — 13T

[13T]Argomenti:oscillazione.

Data una qualunque \(f:X→ℝ\), si definisce la funzione oscillazione \({\operatorname {osc}}(f)\)

1. Si noti che \({\operatorname {osc}}(f)≥ 0\), e che \(f\) è continua in \(x\) se e solo se \({\operatorname {osc}}(f)(x)=0\).

2. Si mostri che \({\operatorname {osc}}(f)\) è semicontinua superiore.

3. Se \((X,d)\) è uno spazio metrico, si noti che

   \[ {\operatorname {osc}}(f) (x) {\stackrel{.}{=}}\lim _{\varepsilon → 0+} \sup \{ |f(y) - f(z)| ~ ,~ d(x,y){\lt}\varepsilon ,d(x,z){\lt}\varepsilon \} \quad . \]