EDB — 18M

[18M] Prerequisiti:[18F]↺↻.Sia \(f: (a, b)→ ℝ\) convessa.

1. Si mostri che in ogni punto esistono la derivata destra \(d^+(x)\) e sinistra \(d^-(x)\) (In particolare \(f\) è continua).

2. Si mostri che \(d^-(x)≤ d^+(x)\),

3. mentre per \(x{\lt} y\) si ha \(d^+(x)≤ R(x,y) ≤ d^-(y)\).

4. Si deduca che \(d^+(x)\) e \(d^-(x)\) sono monotone debolmente crescenti.

5. Si mostri che \(d^+(x)\) è continua a destra, mentre \(d^-(x)\) è continua a sinistra.

6. Inoltre si mostri che \(\lim _{s→ x-}d^+(s)=d^-(x)\), mentre \(\lim _{s→ x+}d^-(s)=d^+(x)\). In particolare \(d^+\) è continua in \(x\) se e solo se \(d^-\) è continua in \(x\) se e solo se \(d^-(x)= d^+(x)\).

   Dunque \(d^+,d^-\) sono, per così dire, la stessa funzione monotona, solo che nei punti di discontinuità \(d^+\) assume il valore dei limiti destri mentre \(d^-\) il valore dei limiti sinistri.

7. Usate il precedente per mostrare che \(f\) è derivabile in \(x\) se e solo se \(d^+\) è continua in \(x\), se e solo se \(d^-\) è continua in \(x\).

8. Si mostri dunque che \(f\) è derivabile salvo che in un numero al più numerabile di punti.