EDB — 1CP

[1CP] Difficoltà:*.Si trovi una funzione \(f:ℝ→ℝ\) derivabile e tale che l’immagine di \([0,1]\) secondo \(f'\) è \(f'([0,1])=(-1,1)\).

Prima di cercare l’esempio, fate questa riflessione. Ricordiamo la proprietà di Darboux [1C8]↺↻: l’immagine di un intervallo \(I\) secondo \(f'\) è un intervallo \(f'(I)\); questa non dice però che l’immagine di \(f'([0,1])\) debba essere un intervallo chiuso e limitato. Se però si sapesse inoltre che \(f'\) è continua, cosa potreste dire di \(f'([0,1])\)? Cosa ne deducete a priori dunque sull’esempio cercato?