EDB — 1H3

[1H3] Prerequisiti: [0JV]↺↻, [0JY]↺↻, [0T5]↺↻, [0T7]↺↻, [1DT]↺↻, [1GD]↺↻, [1P1]↺↻ e [1PG]↺↻.
Difficoltà:**.

Per questo esercizio sono necessarie definizioni e risultati presentati nel capitolo [1NT]↺↻.

Sia $r\ge 1$ intero, o $r=\infty$. Sia $F:{ℝ}^2\to ℝ$ di classe $C^r$, e tale che $\nabla F\ne 0$ in ogni punto in cui $F=0$.

Sappiamo da che [0JV]↺↻ che $\{F=0\}$ è l’unione disgiunta di componenti connesse, da [0JY]↺↻ che ogni componente connessa è un chiuso.

Mostrate che, per ogni componente connessa $K$, vi è un aperto $A\supseteq K$ tale che $K=A\cap \{F=0\}$, e che dunque vi è un numero al più numerabile di componenti connesse.

Mostrate che ogni componente connessa è il sostegno di una curva semplice immersa e di classe $C^r$, di uno dei seguenti due tipi:

• la curva è chiusa, oppure

• la curva $𝛾:ℝ\to {ℝ}^2$ non è chiusa e è illimitata (cioè $\underset{t\to \pm \infty }{lim}|𝛾(t)|=\infty$).

Il primo caso si verifica se e solo se la componente connessa è un compatto.