EDB — 1H3

[1H3] Prerequisiti: [0JV]↺↻, [0JY]↺↻, [0T5]↺↻, [0T7]↺↻, [1DT]↺↻, [1GD]↺↻, [1P1]↺↻ e [1PG]↺↻.
Difficoltà:**.

Per questo esercizio sono necessarie definizioni e risultati presentati nel capitolo [1NT]↺↻.

Sia \(r≥ 1\) intero, o \(r=∞\). Sia \(F:ℝ^ 2→ℝ\) di classe \(C^ r\), e tale che \(∇ F≠ 0\) in ogni punto in cui \(F=0\).

Sappiamo da che [0JV]↺↻ che \(\{ F=0\} \) è l’unione disgiunta di componenti connesse, da [0JY]↺↻ che ogni componente connessa è un chiuso.

Mostrate che, per ogni componente connessa \(K\), vi è un aperto \(A⊇ K\) tale che \(K=A∩ \{ F=0\} \), e che dunque vi è un numero al più numerabile di componenti connesse.

Mostrate che ogni componente connessa è il sostegno di una curva semplice immersa e di classe \(C^ r\), di uno dei seguenti due tipi:

• la curva è chiusa, oppure

• la curva \(𝛾:ℝ→ℝ^ 2\) non è chiusa e è illimitata (cioè \(\lim _{t→ ±∞}|𝛾(t)|=∞\)).

Il primo caso si verifica se e solo se la componente connessa è un compatto.