EDB — 1HS

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Esercizi

  1. [1HS] Note:Questo risultato è noto come “lemma del Dini”.
    Sia \((X,d)\) uno spazio metrico, sia \(I⊂ X\) un compatto e siano \(f,f_ n:I→ℝ\) continue e tali che \(f_ n(x)↘_ n f(x)\) puntualmente (cioè per ogni \(x∈ I\) e \(n\) si ha \(f(x)≤ f_{n+1}(x) ≤ f_{n}(x)\) e \(\lim _ n f_ n(x) =f(x)\)). Si mostri allora che \(f_ n→ f\) uniformemente.

    Soluzione 1

    [1HT]

    Soluzione 2

    [1HV]

    Negli esercizi successivi vedremo che se anche una sola delle ipotesi viene a mancare, allora esistono controesempi.

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  • Dini
  • lemma, del Dini
  • \( \searrow \)
  • convergenza, puntuale
  • convergenza, uniforme
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