Esercizi
[1JV]Sia \(I⊂ℝ\) intervallo compatto, siano \(f_ n,f:I→ℝ\) continue. Mostrate che i due seguenti fatti sono equivalenti.
- a.
Per ogni \(x∈ X\) e per ogni successione \((x_ n)_ n⊂ I\) per cui \(x_ n→_ n x\) si ha \(\lim _{n→∞} f_ n(x_ n)=f(x)\);
- b.
\(f_ n→_ nf\) uniformemente su \(I\).
Trovate indi un esempio dove \(I=[0,1)\), il primo punto vale, ma \(f_ n\) non tende uniformemente a \(f\).
Soluzione 1