Esercizi
[1KV]Prerequisiti:[1K9],[1DJ].Difficoltà:*.
Consideriamo le serie di potenze
\[ f(x)=∑_{n=0}^∞ a_ n x^ n ~ ~ ,~ ~ g(x)=∑_{m=0}^∞ b_ m x^ m~ , \]con raggio di convergenza non nullo, rispettivamente \(r_ f\) e \(r_ g\). Supponiamo che \(g(0)=0=b_ 0\). Siano \(I_ f,I_ g⊂ ℂ\) dischi centrati in zero con raggi minori rispettivamente di \(r_ f\) e \(r_ g\): le precedente serie dunque definiscono funzioni \(f:I_ f→ℂ\) e \(g:I_ g→ℂ\). A meno di rimpicciolire \(I_ g\), assumiamo che \(g(I_ g)⊂ I_ f\).
Si mostri che la funzione composta \(h=f◦ g:I_ g→ℂ\) si può esprimere come serie di potenze \(h(x)=∑_{k=0}^∞ c_ k x^ k \) (con raggio di convergenza almeno \(r_ g\)); si mostri come i coefficienti \(c_ k\) possono essere calcolati dai coefficienti \(a_ k,b_ k\).
Soluzione 1